電梯問題（2016/5/22）

Q: 某12層樓大廈有一部電梯，若只考慮需要下樓的住戶，則電梯預設停在哪一層可讓所有住戶的總等候時間最短？

Ans: 設解答為第X層樓。等候時間與電梯經過的樓層數呈簡單正比，電梯欲至於12樓等候之住戶需經過12-X層樓，欲至第N樓需經過|N-X|層樓，因一樓不需搭電梯「下樓」，故只考慮2至12層樓，可知住戶總等候時間正比於Σ|N-X|，N=2→12。但絕對值難以做進一步運算，遂考慮Σ(N-X)^2的極小值。
(12-X)^2+(11-X)^2+...+(2-X)^2=(12^2+11^2+...2^2)-2*ΣN*X+11*X^2，N=2→12。
按二次函數極值公式可知當X=-b/2a時函數值達極值，此例即為X=(2*ΣN)/(2*11)=ΣN/11=[11*(12+2)/2]/11=14/2=7，得解。