正多面體種類問題

Q: 請證明正多面體最多只有五種。

Ans:
1. 至少要三個面才能交會出一個多面體的頂點。
2. 頂點對應的各相交面的角度總和必小於360°（實例：欲用紙張折出立體的角，須先裁剪一個缺角）。
3. 正多面體頂點發出的角是相等的，綜上兩點可知此角必小於360°/3=120°。
4. 正六邊形及更多邊的正多邊形的各內角大於或等於120°，所以正多面體上的面只可能是正三角形、正方形、或正五邊形。
4-1. 正三角形各內角是60°，360°/60°=6，每個頂點只可能接在三、四、和五個正三角形的面上（分別對應於正四面體、正八面體、和正二十面體）。
4-2. 正方形各內角是90°，360°/90°=4，每個頂點只可能接在三個正方形的面上（對應於正方體）。
4-3. 正五邊形各內角是108°，360°/108°=10/3，每個頂點只可能接在三個正五邊形的面上（對應於正十二面體）。