連續擲筊的機率

問：擲筊可能有聖筊和非聖筊兩種結果且發生機率相同，擲筊23次「才」有連3次聖筊的機率為何？

答：因第21至23次必須都是聖筊，且第20次必須是非聖筊，故「擲筊23次才有連3次聖筊的情況數」即為「擲筊19次都沒出現連3次聖筊的情況數」

設擲筊k次都沒出現連3次聖筊的情況有Ak種，則
A1=2
A2=4
A3=7
A4=13
A5開始Ak=2*A(k-1)-A(k-4) ※小括弧內表足碼

例如，「擲筊10次都沒出現連3次聖筊的情況數」等於「擲筊9次都沒出現連3次聖筊的情況數的兩倍」排除掉「擲筊6次都沒出現連3次聖筊的情況數」
※兩倍：因為擲第10次可能出現聖筊或非聖筊「兩種」情況
※排除：擲筊6次都沒出現連3次聖筊的情況數＝擲筊10次才有連3次聖筊的情況數

擲筊23次才有連3次聖筊的情況數為A19=2*A18-A15=2*(2*A17-A14)-(2*A14-A11)=4*A17-4*A14+A11……
需解「遞迴關係式」方能求其「解析解」，或者用Excel軟體計算得A19/(2^23)=1.45%

PS. 經Excel計算可知，隨著擲筊次數增加「才」有連3次聖筊的機率是遞減的，亦即擲3次就全部聖筊的機率最高，達1/8。